Скалярное произведение векторов

Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Неверно оно и для векторного произведения векторов.

Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула.

Скалярное произведение векторов

Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга…. 1) Если , то угол между данными векторами острый. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали два случая: векторы на плоскости и векторы в трехмерном пространстве, при этом «плоские» и «пространственные» формулы были весьма похожи.

В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства. Повествование опять пойдёт параллельно – и для векторов плоскости и для пространственных векторов. А тут речь идёт о точках и векторах пространства. Напоминаю: векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом: (для векторов плоскости); (для векторов пространства).

Вычислим их скалярное произведение:, значит, отрезки и не перпендикулярны. В окончательном выводе «между строк» подразумевается: «если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными».

Мощь аналитической геометрии – в векторах. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Вот и пример «плохого» значения косинуса. В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Векторное произведение векторов в координатах

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Проекцией вектора на координатную ось является в точности его первая координата: (красная черта). Обозначим через угол между вектором и координатным вектором : (красная дуга). Тогда: (определение косинуса в прямоугольном треугольнике недавно упоминалось).

Площадь четырехугольника по сторонам

Ну а здесь решение и ответ совсем близко. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма. Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора). Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания.

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Решение: Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры №№3,4 урока Скалярное произведение векторов. 2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор. Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны! Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения.

§12.1. Уравнения прямой на плоскости

Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Примерах №№6,7, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул. 2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

Теорема о касательной и секущей

Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. Такое задание уже было! В конце урока Линейная (не) зависимость векторов. И с геометрической точки зрения полученное число по модулю равнялось объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах!

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Остались только веселящие душу угольки, и в заключение хочу добавить, что в общем виде смешанное произведение векторов определено в аффинной системе координат.

Если — радиус данной окружности, а — постоянный отрезок, который откладывается на полярном радиусе, и если , то улитка Паскаля является кардиоидой. Запишите уравнение в прямоугольной декартовой системе. Пусть — другая точка прямой. Ненулевой вектор, параллельный прямой, называется ее направляющим вектором. 1) и (2), если они параллельны или совпадают. 1) и (2), кроме второй из взятых прямых.

Вектор нормали направлен в сторону полуплоскости, в которой нет начала координат. Это и есть полярное уравнение прямой на плоскости. Этими уравнениями постоянно пользуются в астрономии и в механике. Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} и может быть построен также как квазиправильный усечённыйквадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения.

Найдем уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Докажите, что точки и лежат вне данного четырехугольника. 3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры №№5,6). Сначала про угол между векторами. КО < КС, и точка О лежит внутри квадрата. Здесь , - направляющие косинусы вектора нормали. Фактически, она состоит в том, чтобы найти длину векторов и составить эти самые направляющие косинусы. Так, в рассмотренных примерах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых.

Будем читать дальше:


60c1cbd5